Mie 散射系數(shù)的新算法

王少清 任中京　張希明　何芳 江海鷹

(山東建筑材料工業(yè)學(xué)院，濟(jì)南　250022)

提要：介紹了一種計(jì)算Mie散射系數(shù)的新方法，給出了計(jì)算實(shí)例。

關(guān)鍵詞：米氏散射，Mie系數(shù)，Mie計(jì)算

New algorithm of Mie scattering parameters

Wang Shaoqing  Ren Zhongjing　Zhang Ximing 　HeFang  Jiang Haiying

(Shandong Institute o f Building Materials，Jinan　250022)

Abstract：A new algorithm of calculating Mie Parameters was introduced. Some calculation results done with this algorithm were given.

Key words: Mie scattering ，Mie parameters，Mie calculation

1　引言

Mie 理論是球形顆粒對單色光的散射場分布的嚴(yán)格解析解^[1]，目前在環(huán)保、動(dòng)力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。利用單一顆粒或顆粒群光散射場的測量數(shù)據(jù)。可以反推得散射顆粒或顆粒群的很多物理性質(zhì)，如顆粒的尺寸、顆粒的折射率等^[2]。但反推必須事先計(jì)算出各種尺寸的顆粒在各種復(fù)折射率下的散射場分布數(shù)據(jù)。1968 年Dave^[3]zui先發(fā)表了完整的Mie散射計(jì)算方法，以后Lentz^[4]和Wiscomb^[5]又針對部分計(jì)算提出了新算法。國內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法^[6、7、8]。但總的看來，這些算法均有各自的局限性。尤其是當(dāng)顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時(shí)，往往計(jì)算速度過慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象。本文介紹作者發(fā)展的Mie 散射新算法。該算法的特點(diǎn)是不受顆粒尺寸及折射率的限制，不會(huì)產(chǎn)生溢出和不收斂的現(xiàn)象，且具有較快的計(jì)算速度。

2　Mie散射系數(shù)的計(jì)算公式

Mie 散射計(jì)算的中心問題是計(jì)算Mie 散射系數(shù)a_n 和b_n，其表達(dá)式為^[9]

其中為顆粒的尺寸參數(shù)，定義為α=πd/λ，d為顆粒直徑，λ為入射光在顆粒周圍介質(zhì)中的波長，而m為顆粒在周圍介質(zhì)中的相對復(fù)折射率，即m= m¹ + im² ( m²< 0) , 式中i 為虛數(shù)單位。而Ψ_n( Z) 和ξ_n( Z) ( Z 既表示α，又表示mα)的表達(dá)式為

Ψ_n( Z)=（πZ/2）J_n+1(Z)

ξ_n( Z)=Ψ_n( Z)+iΧ_n(Z)

Χ_n(Z)= ? (πZ/2)( ? 1)_n-1J_-(n-1)(Z)

     = ? (πZ/2)N_n+1(Z)

3 計(jì)算中產(chǎn)生溢出的原因

計(jì)算Mie 散射系數(shù)須先計(jì)算Ψ_n 和Χ_n。一般采用遞推的方法。遞推又分為向前遞推( 即從n= 0 開始) 與向后遞推( 即從n= N 開始至n=0, N 為預(yù)先設(shè)定值) 。實(shí)驗(yàn)表明，向前遞推總是快于向后遞推。Ψ_n 和Χ_n的初值為

分析以上兩式可知，當(dāng)m₂≠0 時(shí), 若顆粒尺寸d很大, 或復(fù)折射率的虛部值m₂很大，將使得乘積m₂d很大，可使兩式中的項(xiàng)exp( - m₂ α) =exp ( - πm₂d/ λ) 的值超過計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)限，從而產(chǎn)生溢出，這是產(chǎn)生溢出的重要原因。另外，在遞推過程中，不恰當(dāng)?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?/span>

4　a_n和b_n的新算法

為解決上述問題，作者提出了新的算法。將a_n和b_n的公式變形如下: 令

其中Lnr、Lnj分別表示Ln(m)的實(shí)部與虛部。將（2）式代入（1）式，并用a_nr、a_nj和b_nr、b_nj分別表示的實(shí)部與虛部。如此可推得

在上述四個(gè)公式中采用比值的形式是非常重要的，這樣可避免遞推過程中當(dāng)a_i與b_i   較大時(shí)乘法運(yùn)算可能產(chǎn)生的溢出。這是本算法的一個(gè)重要特點(diǎn)。在以上四式中

由于均為實(shí)變量函數(shù)，計(jì)算不產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是  和的算法如何處理，才能保證計(jì)算中不產(chǎn)生溢出。在Lentz的算法中是采用連分式計(jì)算Ln的值，其精度的保證是由在大量計(jì)算基礎(chǔ)上得出一個(gè)截?cái)囗?xiàng)數(shù)N與參數(shù)a與m的經(jīng)驗(yàn)公式而實(shí)現(xiàn)的。這樣的經(jīng)驗(yàn)公式，一則有實(shí)用上的局限性，再則也會(huì)帶來截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)（6）對此經(jīng)驗(yàn)公式做了改進(jìn)，但仍陷于a=1~100，m1=1~2，m2=0~1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)展的關(guān)于Ln的新算法。該算法的特點(diǎn)是不受a及m值的限制，不會(huì)產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象，且具有較快的計(jì)算速度。令

上面導(dǎo)出的(3) - (20)諸式，構(gòu)成了Mie系數(shù)an和bn的完整算法。由于an和bn是從n= 1開始計(jì)算，利用初值公式(16) - (20)即可算得任意級(jí)數(shù)的an和bn的值，故沒有舍入誤差的問題。從(16)式可見，因?yàn)?/span>y= m₂ɑ≤0, 故無論m₂和ɑ取何值均不會(huì)產(chǎn)生溢出，再加上(3)的各式中采用了比的形式，又避免了計(jì)算過程中的溢出，這就從根本上解決了溢出的問題。

5　計(jì)算實(shí)例

利用以上算法編制了計(jì)算顆粒散射場強(qiáng)度和消光系數(shù)的計(jì)算機(jī)程序。當(dāng)波長為λ的單位振幅的平面自然光入射顆粒時(shí)，顆粒的散射光強(qiáng)為^[9]

Ξ為計(jì)算機(jī)在雙精度下的zui小數(shù)據(jù)限。

圖1示出散射光強(qiáng)的一組計(jì)算實(shí)例。其中取m₁=1.33，m₂=-0.4，λ=0.6328三圖分別對應(yīng)于顆粒的直徑為d=0.001,1.0和30μm。而d圖為顆粒直徑d=100μm時(shí)散射花樣的局部放大。可見，隨著顆粒尺寸的增大，前向散射迅速加強(qiáng)，并且出現(xiàn)了復(fù)雜的旁瓣。

實(shí)部(a)與虛部(b)的變化情況。可見隨著m₁和m₂的增大，雖然顆粒的尺寸保持不變，但散射也加強(qiáng)，且后向散射隨著m₁和m₂的增大而加強(qiáng)。

圖3給出有關(guān)消光系數(shù)的計(jì)算結(jié)果，其中a)和b)分別表示消光系數(shù)隨折射率實(shí)部與虛部的變化情況。可見隨著顆粒直徑的增大，消光系數(shù)趨近于2; 折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨近變得更快和更明顯。另外當(dāng)折射率的虛部m₂= 0時(shí)，消光系數(shù)隨顆粒直徑的增大而振蕩；但當(dāng)m2≠0 時(shí)，振蕩迅速消失。

光強(qiáng)zui大值處所對應(yīng)的F_M(Z)的值即由上式確定。由上式也可見：此極限情況下的焦移大小主要由S₀/f及N_a所決定。

參考文獻(xiàn)：

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[2]Peter Chylek, V. Ramasw amy , A. Ashkin and J.M . Dziedzic,“Simultaneous determination o f refractiv endex and size o f spherical dielectric particles from light scattering data",Appl. Opt . ,Vo l. 22, No . 15, p2302- 2307(1983)

[3]J. V. Dave, Repo rt 320 - 3237 ( IBM Scientific center , 1968)

[4]W. J. Lentz, Appl. Opt. , 15, 668( 1976)W. J. Wiscome, Appl. Opt, Vol. 19, No. 9, pp1505( 1980)

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[8]鄭剛等, M ie 散射的數(shù)值計(jì)算, 應(yīng)用激光, Vol.12, No . 5, pp220( 1992)

[9]H. C. v an de Hulst , Lig ht scatter ing by small particles,Do ver Publica tion lnc. , New Yor k, chp. 13( 1981)